大型語言模型（LLM）能力發展：數學與物理的先後順序

AI人工智慧大型語言模型（LLM）能力發展：數學與物理的先後順序 

文/陳育霖
這和我自己學習與教學的過程體驗貼近，數學的內在邏輯性強，年紀小的時候教較容易自學成功，物理或科學，需要理解概念描述用語及世界運作的道理，需要更多時間累積，所以數學界的諾獎費爾茲獎章規定得主年紀小於40歲，諾貝爾獎得主通常需要一些歲月沉澱累積。
從場景來，人工智慧需要多認知真實世界的情況表示學生多做實驗，多理解真實世界，其實也是試圖不被AI取代的積極舉動。

以下文字經過Grok3調整

在大型語言模型（LLM）的能力發展過程中，數學能力通常比物理處理能力更早展現出較好的表現。這種現象並非因為模型「選擇」先學習數學，而是因為數學問題的結構化特性、數據可得性以及與語言模型的核心設計契合度，使其成為更易掌握的領域。物理問題則因其複雜性、對現實世界知識的依賴以及多層推理需求，相對落後。本文將深入分析這一現象的原因，並探討當前趨勢與未來展望。

一、數學能力優先發展的原因

1.1 數據的可得性與結構化

數學問題通常具有明確的結構和規則，例如數學公式、定理和邏輯推理步驟。這些特點在訓練數據中易於被捕捉和學習。例如，數學問題的答案往往是唯一且可驗證的（如“2+2=4”），這使得LLM在訓練過程中能夠快速學習數學推理的模式。網路上存在大量的數學相關數據，如教科書、競賽題庫（AMC、IMO等）以及程式碼數據（包含數學邏輯），這些高質量的結構化數據為數學能力的發展提供了堅實基礎。

相比之下，物理問題的表述形式更加多樣，可能涉及文字描述、圖表或實驗數據，且通常需要理解複雜的上下文和物理直覺。例如，解決一個自由落體問題不僅需要套用公式，還需判斷是否忽略空氣阻力或考慮初始速度，這增加了學習難度。

1.2 數學的抽象性與語言的契合

數學，尤其是基礎數學（如代數、幾何、微積分），是一種高度符號化的形式語言系統，與LLM的符號處理能力高度契合。LLM擅長識別和模仿語言中的邏輯結構，例如數學推導中的一步步推理，這使得它們在數學問題上能更快達到較高的準確性。例如，LLM可以通過模仿教科書中的解題步驟，學會解決一元二次方程或計算導數。

物理問題則需要將數學公式與現實世界的物理情境結合。例如，牛頓第二定律 ( F=ma ) 不僅是一個數學公式，還蘊含物理意義：力導致加速度，質量不能為負數，且單位需一致。這種跨領域的推理對早期LLM而言是一個挑戰，因為它們缺乏對現實世界的具身認知，只能依賴文本中的統計模式。

1.3 訓練數據的偏向

大多數LLM的訓練數據包含大量數學相關內容，例如數學教科書、學術論文和程式碼庫。這些數據為模型提供了豐富的數學推理範例，使其能夠快速學習數學模式。相比之下，物理相關數據雖然存在，但數量相對較少，且物理問題的表述通常依賴具體的物理場景或實驗背景，這使得模型在物理處理能力上的進展較慢。例如，物理問題可能要求模型理解“摩擦力”與“表面材質”之間的關係，這需要額外的背景知識，而非單純的符號操作。

1.4 推理複雜度

數學問題，尤其是基礎數學問題，通常可以分解為一系列明確的步驟。例如，解一個一元二次方程可以通過公式 ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) 按部就班完成。LLM可以通過模仿這些步驟，快速學會解決問題。相反，物理問題需要模型理解物理定律（如能量守恒）、應用適當的公式，並考慮現實約束（如空氣阻力或單位一致性）。這要求更高的上下文理解能力和更複雜的推理路徑。

二、物理能力稍落後的關鍵障礙

2.1 依賴複雜的推理鏈

物理問題通常需要整合多層邏輯，包括數學計算、物理概念的定義、以及現實世界的約束條件。例如，計算一個小球的落地時間需要聯結重力公式、初始速度、空氣阻力等步驟。LLM的逐詞生成機制（Next Token Prediction）在處理長程推理時容易出現錯誤，尤其是在需要跨領域整合時。

2.2 缺乏物理世界的經驗數據

LLM的訓練數據以文本為主，缺乏真實的物理體驗或實驗數據。雖然模型可以學習到“牛頓定律”的文字描述，但無法驗證其在現實世界中的適用性。這導致模型在物理問題上的表現更多是模仿文本模式，而非真正理解物理原理。例如，模型可能正確復述 ( F = ma )，但在應用到新場景時可能忽略單位或物理約束。

2.3 語義歧義的挑戰

物理概念的表述往往具有多重性，例如“速度”和“速率”在不同語境下可能有細微差異，同一術語（如“功”）在物理和日常用語中的含義也不同。這要求模型具備深度的語義理解能力，而非簡單的模式匹配，這對LLM的學習機制提出了更高要求。

三、數學與物理能力的本質差異

數學問題的本質是形式化的符號語言，類似於學習一門外語的語法和詞彙。這種任務對LLM來說相對單純，因為它們的核心能力是識別和生成語言模式。物理問題則更像是用這門外語撰寫關於真實世界的精確描述，需要對物理定律、概念和現實約束有深刻的理解。例如，數學問題可能只需要套用公式，而物理問題需要先將文字描述“翻譯”成數學模型，這一步的語義理解和情境建模對LLM來說是額外的挑戰。

一個簡單的比喻是：學習數學就像學習國際象棋的規則，規則明確且可在紙面上完成；學習物理則像在真實戰場上運用這些規則，需考慮地形、天氣等複雜因素。

四、能力發展路徑觀察

(1) 早期模型如 GPT-2 與初期 GPT-3，主要擅長語言生成，數學能力有限。

(2) 中期模型透過 CoT 技術學會模仿人類的解題過程，使其數學解題能力顯著提升。

(3) GPT-4 引入工具調用（如 Code Interpreter），可準確完成複雜計算，數學能力達到工程等級。

(4) 物理能力則在數學與推理技術成熟後，透過進一步的語境理解與概念建模才得以發展。

五、當前趨勢與未來展望

隨著LLM的發展，物理處理能力正在逐步追趕數學能力。例如，通過專門的物理問題訓練集、結合外部工具（如計算器、模擬軟件）或採用混合架構（如神經符號AI），LLM在物理問題上的表現已顯著提升。當前模型（如GPT-4）通過“思考鏈”（Chain-of-Thought）技術，可以更好地分解物理問題並逐步推理。此外，針對數學的工程優化（如數字分詞、低位優先輸入）也間接提升了物理問題的解決能力，因為物理問題通常以數學為基礎。

然而，LLM的物理能力仍受限於其缺乏具身認知和真實世界經驗。未來的突破可能需要結合模擬環境、實驗數據或更強大的跨模態學習能力，以彌補純文本訓練的不足。

五、結論

LLM在能力發展過程中，數學能力優先於物理能力的原因在於數學問題的結構化、數據豐富性以及與語言模型的符號處理能力高度契合。物理問題則因其複雜的推理需求、對現實世界知識的依賴以及語義歧義的挑戰，成為更難掌握的領域。數學能力是物理推理的必要基礎，但物理能力的發展需要更廣泛的數據和更強大的推理能力。隨著技術的進步，LLM在物理問題上的表現正在逐步改善，但數學能力仍將是其核心優勢之一。