人工智慧機器學習的物理建模
普林斯頓大學數學系鄂維南(Weinan E)教授團隊2020年在arXiv上發表這篇人工智慧演算法運用於物理建模的論文，題名為整合機器學習的物理建模(Integrating Machine Learning with Physics-Based Modeling)。
研究者透過機器學習(Machine Learning)技術來解決傳統物理建模中的計算難題，並從數據中學習新的、更準確的模型。它將機器學習演算法視為一種強大的工具，用於逼近複雜函數、進行降維、主動產生資料，並學習物理系統的動態行為。論文中提到的具體案例包括：分子動力學、氣體動力學、液體和固體建模、以及量子力學等等。這篇論文反映了機器學習在物理學中越來越重要的作用。
1. 論文聚焦的核心物理問題：
簡化複雜物理系統的建模： 論文強調，儘管物理學界已經掌握了許多基本定律（例如牛頓定律、馬克士威方程、量子力學等），但由於實際問題的複雜性，直接應用這些定律常常導致難以求解的方程。因此，簡化模型的需求非常大。
具體問題： 例如，氣體動力學、液體動力學、固體變形、相變、湍流等，這些問題涉及多尺度、多體、非線性等複雜因素。
多尺度建模的挑戰： 論文也討論了多尺度建模的問題，即如何在宏觀尺度上利用微觀尺度的模型。這在材料科學、生物學和工程學中非常重要。
具體問題： 例如，裂紋傳播、湍流、複雜流體行為等，這些問題涉及多個時間和空間尺度的耦合。
發展精確且可解釋的物理模型： 論文強調了使用機器學習技術來創建既精確又具有物理意義（可解釋）的模型的目標。
具體問題： 例如，如何更準確地描述分子間的相互作用（位(勢)能面，PES）、開發更有效的湍流模型等。
2. 使用的物理方法：
論文中討論的物理方法主要包括：
基於第一原理的計算： 例如密度泛函理論（Density Functional Theory, DFT），用於計算電子結構和原子間的相互作用。這類方法非常精確，但計算成本高昂。
分子動力學（Molecular Dynamics, MD）： 透過模擬原子和分子的運動來研究材料和分子的性質。MD 的關鍵是如何有效地模擬原子之間的相互作用（即勢能面）。
氣體動力學和Boltzmann方程： 用於描述稀薄氣體中粒子運動的統計力學方法，以及相關的流體力學方程 (如歐拉方程Euler equation、納維-斯托克斯方程Navier-Stokes equation)。這些方法常需處理高維度的相空間。
簡化的模型： 利用對稱性、守恆定律、近似方法（如微擾理論Perturbation theory），從複雜模型中提取簡化模型。例如，使用歐拉方程模擬氣體動力學，或使用線性彈性模型模擬固體變形。
多尺度建模： 論文強調了利用微觀模型的結果來建立宏觀模型的理念，如微觀模擬數據用於校準宏觀模型。
3. 對應的人工智慧演算法：
論文主要討論了以下幾種機器學習方法：
監督式學習（Supervised Learning）： 使用已標記的數據訓練模型，以逼近一個目標函數。例如：
神經網路（Neural Networks）： 用於逼近複雜的非線性函數，例如分子動力學中的勢能面，或流體力學中的速度場。論文中提到 Deep Potential（深度勢）和 DeePMD (深度分子動力學)。
自編碼器（Autoencoders）： 用於提取輸入數據中的重要特徵，例如簡化高維度的氣體動力學模型。
蒙特卡羅方法（Monte Carlo Methods）： 用於計算高維度積分，例如在固態物理中的變分蒙特卡羅方法（Variational Monte Carlo, VMC）。
主成分分析（Principal Component Analysis）： 用於降維，將高維度的數據投影到低維度的空間，提取主要成分，用於簡化複雜的物理模型。
並行機器學習（Concurrent Machine Learning）： 論文提出一種新的機器學習範例，其中數據生成和模型訓練是交互式的過程，而不是像傳統的監督學習一樣先有數據後訓練。例如：
*ELT演算法（Exploration-Labeling-Training）：*用於主動生成資料，從而提高機器學習模型的訓練效率。它首先探索設定空間，選擇需要標註的組態，然後基於微觀模型計算這些組態的標籤，最後用這些數據訓練巨觀模型。
基於機器學習的變分蒙地卡羅方法： 一種基於機器學習的解決薛丁格方程式方法，數據在計算過程中動態生成。
老陳觀察
這篇論文為讀者揭示了科學本質或物理本質包含以下，
1. 對物理建模本質的理解：
簡化模型的重要性與局限性：
論文首先強調，物理學的核心任務之一是尋找基本定律和解決實際問題。但實際問題的複雜性往往使得直接應用基本定律變得困難。
讀者可以學習到，簡化模型是物理學中一種常見且必要的手段，它允許我們在有限的計算能力下，抓住問題的核心。
然而，論文也提醒我們，簡化模型本身具有局限性，例如可能忽略某些重要的物理效應，或者在高維度或多尺度的情況下失效。
多尺度建模的必要性：
許多真實的物理現象涉及多個時空尺度，例如湍流、裂紋擴展等。這些現象很難用單一的模型來描述。
讀者可以理解，多尺度建模是一種強大的方法，它試圖將不同尺度上的模型聯繫起來，從微觀到宏觀地理解複雜系統。
論文也坦承，多尺度建模在實踐中仍面臨許多挑戰，如微觀模型的不準確性、計算成本高昂等。
對稱性與守恆定律的重要性：
論文多次強調，對稱性和守恆定律是構建物理模型的重要依據。這些原則不僅可以簡化模型的形式，還可以保證模型的物理合理性。
讀者可以理解，在構建模型時，必須充分考慮模型的對稱性、守恆性等，並確保模型不會違背基本的物理定律。
論文中利用機器學習來建構保持對稱性的勢能函數是一個很好的範例。
2. 對科學探索方法的理解：
從理論到實驗的迭代過程：
傳統的物理建模方法通常從理論出發，推導出模型，然後通過實驗來驗證或調整模型。
論文介紹了機器學習如何改變這種傳統的模式，強調數據驅動的建模方法。
讀者可以學習到，數據的品質和廣度對建立可靠的模型至關重要。
機器學習如何作為一種工具：
論文並非將機器學習視為萬能的靈丹妙藥，而是將其視為一種工具，可以幫助我們更有效地進行科學探索。
讀者可以理解，機器學習可以幫助我們從複雜數據中提取模式，並用於建立更準確的、可解釋的模型。
論文中強調機器學習結合物理知識的重要性，避免機器學習淪為黑盒子，並使得機器學習建構的模型更符合物理意義。
探討“黑箱”方法的透明性：
論文不僅強調了機器學習模型的優點，也指出了其局限性，例如「黑箱」效應。
讀者可以學習到，對於機器學習模型，可解釋性非常重要。論文中一些範例，如運用神經網路建構守恆定律的物理模型，強調了透明模型的重要性。
多學科協作的重要性：
論文展示了物理學、數學和計算機科學的深度融合。
讀者可以學習到，在當今的科學研究中，跨學科的合作已變得越來越重要。
論文也隱含了機器學習是一個跨領域研究的學科，需要物理、數學和計算機科學的專家協同工作。
3. 論文中具體的物理問題與對應的ML方法展現了科學與數學方法的結合：
位(勢)能面建模（Potential Energy Surface Modeling）：
物理問題： 如何準確描述分子動力學模擬中原子間的相互作用？
機器學習方法： 使用神經網路來逼近勢能面，並加入對稱性約束，產生 Deep Potential 模型。
氣體動力學的動量封閉（Moment Closure for Kinetic Models of Gas Dynamics）：
物理問題： 如何建立更準確的稀薄氣體模型，克服傳統 Navier-Stokes-Fourier 方程在高馬赫數時的失效？
機器學習方法： 使用機器學習來學習更精確的動量封閉關係，產生新的動量封閉模型。
變分蒙地卡羅方法（Variational Monte Carlo）：
物理問題： 如何求解量子多體問題？
機器學習方法： 利用機器學習對波動函數進行參數化，然後用蒙特卡羅方法來優化這些參數。
4. 對未來科學研究方向的啟發：
如何建立更可靠的模型？ 論文指出，將機器學習與物理建模結合的關鍵，是使用機器學習來輔助或取代模型中的某些功能，而非完全取代物理模型本身。
數據的質量和數據驅動的重要性： 論文說明了在數據科學時代，如何以物理為基礎的建模來從大量的數據中提取出物理規律。
機器學習如何提升物理學的發展： 論文中強調了機器學習作為一個新工具，來解決物理建模中長期存在的問題，如湍流、非牛頓流體、勢能面等。
總結：
這篇論文不僅僅介紹了幾種特定的機器學習演算法，更重要的，它向讀者揭示以下觀點：
(1)物理建模的本質、重要性與局限性。
(2)科學探索的迭代過程。
(3)跨學科合作的重要性。
(4)機器學習如何作為一種工具來加深我們對物理世界的理解。
這篇論文提供物理建模的挑戰、機器學習的潛力、以及科學研究的未來方向，更為全面和深刻的認識。啟發我們以更加開放和創新的態度，去探索和理解自然界。
原論文資料
W. E, J. Han, and L. Zhang, Integrating Machine Learning with Physics-Based Modeling, arXiv:2006.02619 [physics.comp-ph] (2020).
https://arxiv.org/abs/2006.02619
